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一、计算题

1． 设事件A , B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4, 求

【答案】由题设知

.

. 又因为A ，B 独立，所以由

解得

2． 设随机变量X 的分布函数为

及

.

试求

【答案】X 的密度函数为

»

所以

1

由此得

3． 设方差为

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】

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从总体X 中抽取简单随机样本

样本均值为

, 样本

, 则（ ）.

4． 设随机变量X 服从正态分布N （10，9），试求

【答案】一般正态分布满足关系式:

的p 分位数. 所以

间

与标准正态分布的p 分位数

5． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位:小时），其密度函数为

试求平均维修时间. 【答案】

故其平均维修时间为50小时.

6． 在某保险种类中，一次关于2008年的索赔数额（单位:元）的随机抽样为（按升序排列）:

已知2007年的索赔数额的中位数为5063元. 是否2008年索赔的中位数比前一年有所变化？请用双边符号检验方法检验，求检验的p 值，并写出结论.

【答案】原假设得到检验统计量值为

，备择假设. ，检验的P 值为

p 值小于0.05, 所以拒绝原假设. 从而认为2008年的索赔中位数与前一年相比有变化.

7． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数

【答案】记（1）（2）

8． 设

若分别取问

是否为服从伽玛分布

；

，作差，

设各周的需求量

相互独立，

且密度函数都为

（2）三周需求量的密度函数

为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.

，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为

, 其密度函数为

是取自均匀分布总体

和

的一个样本，

作为

的估计量，

的无偏估计.

的无偏估计量？如果不是，如何修正才能获得则

从而

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【答案】令于是有

记为样本相应的次序统计量，

可见

不是

的无偏估计量. 由

解之得

因而

是

的无偏估计量.

二、证明题

9． 设

【答案】若

证明

:

服从贝塔分布，并指出其参数.

则X 的密度函数为

由其反函数为

上是严格单调增函数，

的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.

10．设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

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