2018年浙江大学环境与资源学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
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一、计算题
1． 设X 与Y 的联合密度函数为
(1)时，
所以，当z ≤0时，有
；而当z>0时，有
，这是伽玛分布
的交集为图（a ）阴影部分
.
（2）当z ≤0时，p （x , y ）的非零区域与.
：(2)
而当z>0
’试求以下随机变量的密度函数
【答案】（1）因为p （X ，Y ）的非零区域为x>0，y>0，所以当z ≤0时，
图
又因为当z>0时，p （x , y ）的非零区域与
的交集为图（b ）阴影部分，所以
由此得
2． 若
【答案】由
，试解:
，得
所以得
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.
»
即
所以
9
即
由此得
即
3． 设X , Y 相互独立, 其中X 的概率分布为
求【答案】设
故
4． 设
是来自Rayleigh 分布
的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】 （1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是:（2）注意到
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, 而Y 的概率密度为,
的概率密度.
的分布函数为
.
由此可见故对
是
的无偏估计. 当
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，当由此可得在原假设由等式
时，，或者
成立下，有
可得
记
是
分布的
分位数，可得
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
可知
时，
所以
c=21.887.
时，将拒绝原假设
，从而有
在原假设
成立下，有
这里
可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，
, 从而有
故由等式则有
即
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较大时，拒绝原假设是合理的.
确定. 为了确定c ，需要充分统计量
，
的分布.
利用分布的分位数可确定临界值C.
.
故由中心极限定理知
可得，记为标准正态分布的分位数，
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