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一、计算题

1． 设

是来自

的样本, 经计算

用

, 试求

【答案】因为

量的分布函数, 注意到t 分布是对称的, 故

（x ）表示服从t （15）的随机变

利用统计软件可计算上式, 譬如, 使用MA TLAB

软件在命令行输入0.8427, 直接输入

布在x 处的分布函数. 于是有

2． 设

取拒绝域为

是来自0-1总体b （1, p ）的样本，考虑如下检验问题

则给出0.6854. 这里的

则给出

就表示自由度为k 的t 分

（1）求p=0，0.1, 0.2，…，0.9, 1时的势并由此画出势函数的图； （2）求在p=0.05时，犯第二类错误的概率. 【答案】（1）势函数的计算公式为：

则p=0，0.1，0.2, …，0.9, 1时的势计算如下表：

表

可用软件计算，如matlab 语句为在P=0.2处达到最小.

势函数图如图，它

图

p=0.05时，（2）犯第二类错误的概率为可采用如下matlab 语句binocdf （6, 20, 0.05）—binocdf （1，20，0.05）计算给出

3． 设随机变量

【答案】因为正态分布所以

由此得X 的3阶及4阶中心矩为

4． 设二维随机变量（X , Y ）的联合分布列为

表

1

试求

与

的协方差.

表

2

所以得

由此得

计算结果为0.2641.

, 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩.

的特征函数为

【答案】因为

5 设总体X 服从几何分布, 即．

为该总体的样本. 分别求【答案】容易看出所以

同样可以得到

此式对k=l也成立, 因为

所以

的分布列为

可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 事实上, 由

于

从而

而其和

下面求所以

类似有

所以

的分布列为

同样可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 这里非负性是显然的, 而其和

6． 设

【答案】因为

求

的分布. 的可能取值区间为

所以当

0时，Y 的密度函数为

对上式两边关于y 求导，得

即

其中

的概率分布.

所

以

的分布列. 由于

而当y>0时，Y 的分布函数为