2017年温州大学数学与信息科学学院822高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 当
时，
，问x 等于多少，可使得当
，要使
时，就有
。
在整个xOy 平面内是某一函数
【答案】（1）在整个xOy 面内，
函数
，因此所给表达式是某一函数
的全微分。取
具有一阶连续偏导数，
且
则有
（2）在整个xOy 面内，函数
和
具有一阶连续偏导数，且
故所给表达式是某一函数
的全微分。取
则有
（3）在整个xOy 面内，且
则有
和
，故所给表达式是某一函
数
具有一阶连续偏导数，
的全微分。
取
的全微分，并
时，，
只要
，即
，
【答案】因为，则当取
2． 验证下列求这样的一个
（4）在整个xOy 面内，函数且
则有
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和具有一阶连续偏导数，
的全微分，
取
，故所给表达式为某一函
数
（5）解法一：在整个xOy 面内，连续偏导数，且分。取
则有
和
故所给表达式是某一函数
具有一阶的全微
解法二：（偏积分法）因函数
满足
故
其中
是y 的某个可导函数，由此得
又
必需满足
从而得
（C 为任意常数）。因此
取C=0，就得到满足要求的一个
。
因此可取
3． 设f （x ）在区间[a, b]上连续，g （x ）在区间[a, b]上连续不变号，证明至少存在一点使下式成立：
【答案】不妨设
（积分第一中值定理）。
，由定积分性质可知
故有
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解法三：（凑微分法）利用微分运算法则直接凑出
，
记f （x ）在[a, b]上的最大值为M 、最小值为m ，则有
当当
时，由上述不等式可知时，
有
，故结论成立。
，由闭区间上连续函数性质，知
存在
，使得
4． 求曲线
从而结论成立。
在三个坐标面上的投影曲线的方程.
【答案】
在
，即
中消，故
去z ，
得
为曲线在xOy 面上的投影曲线方程.
在即
，
故
xOz 面上的投影曲线方程.
同理，可得
5． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由
，知α=
，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
，他就是曲线在yOz 面上的投影曲线方程.
为曲线在
中消去y ，得
，
；（2）；（3），问这些向量
直于xOy 面.
6． 求过点 （2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点
【答案】
=（2，9，﹣6）. 所求平面与
的线段，垂直的平面方程. ，设所求平面方程为
垂直，可取n=
2x ＋9y －6z ＋D=O
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