2017年同济大学物理科学与工程学院608高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
在
内却不是单调函数。
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
内为单调增加函
数。但它的导函数
2． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
令
，故
，
得
，
当
时
，
，
当
时
，
,
由于
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
小值。
3． 己知制作一个背包的成本为40元, 如果每一个背包的售出价为x 元,
售出的背包数由
给出, 其中a , b 为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润?
【答案】设利润函数为p （x ）, 则
令由
, 得
知
（元）
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大值点, 即售出价格
定在60元时能带来最大利润。
4． 求函数
【答案】
在点
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为
沿
方向减少最快，其方向导数为
5． 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:
（1）（2）
在
处沿
的方向增加
【答案】（1）f （1）在[0, 1）及（1, 2]内连续，在x=1处，
，又
（2）f （x ）在处
函数的图形如图2所示。
与但
。
故f （x ）在x=1处连续，因此f （x ）在[0, 2]上连续，函数的图形如图1所示。
内连续，在x=-1处间断，但右连续，因为在x=-1
即
。
图1 图2
6． 设
存在，求下列函数的二阶导数
。
【答案】
7． 设函数f （x ）和g （x ）均在点x 0的某一邻域内有定义，f （x ）在x 0处可导，f （x 0）=0，g （x ）在x 0处连续，试讨论f （x ）g （x ）在x 0处的可导性。
【答案】由f （x ）在x 0处可导，且f （x 0）=0，则有
由g （x ）在x0处连续，则有故
即f （x ）g （x ）在x 0处可导，其导数为f’（x 0）g （x 0）。 8． 求
，其中
。 ，
【答案】
9． 下列周期函数f （x ）的周期为2π, 试将f （x ）展开成傅里叶级数，如果f （x ）在的表达式为：
【答案】（1）
上
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