2018年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，
样本均值分别为
将两组样本合并，其均值、方差分别为
证明:
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
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样本方差分别为
3． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
4． 设二维随机向量
服从大数定律.
服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知
所以
由此得
令
则
所以
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其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
5． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
未知.
）.
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
6． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
，这就完成了证明. 存在，试证明:
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
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