2018年中央财经大学统计与数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】因为在离散场合，当值时，
时，
存在，试证:
是随机变量Y 的函数，记以概率
取
它仍是随机变量. 由于在Y 取固定
上式对Y 的任一取值都成立，即
在连续场合也有类似解释，所以在
一般场合有
2． 在单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样多少？
【答案】此处因子水平数r=4, 每个水平下的试验次数m=3, 误差平方和它们分别为
于是
其自由度为
，误差方差
的估计值为
3． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取
【答案】只是这里的原假设和备择假设分别为
拒绝域为
，当取
时，
，检验统计量
u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.
）？
，样本标准差s=2.6cm,
由四个平方组成，
本标准差分别为1.5, 2.0, 1.6, 1.2, 则其误差平方和为多少？误差的方差的估计值是
也是常数，故有
4． 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设
此处
分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值.
，
现分别在两总体中取一样本
为样本，
和
设两个样本独立. 试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域. 【答案】设X 为服用原有止痛片后至开始起作用的时间间隔，Y 为服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔，且两个样本独立. 为此，先构造且
已知，胡
的点估计
，由于
为样本，
，待检验的一对假设为
，
设两总体均为正态分布且方差分别为已知值
的分布完全确定. 据此，可采用u 检验方法，检验统计量为
当矾成立时，检验的拒绝域为
，对于本题的检验问题，在给定的显著性水平理下，
.
设各周的需求量
相互独立，
且密度函数都为
.
5． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数
【答案】记（1）（2）
6． 已知
【答案】由条件概率的定义知
，
其中
再由
，可得
服从伽玛分布
；
（2）三周需求量的密度函数
为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.
，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为
, 其密度函数为
. 代回原式，可得
7． 在垫片的耐磨试验中，关于磨损率有四个样本，它们的样本方差与其自由度分别为
现要对“四个总体方差彼此相等”的假设作出判断.
与样本量误差均方和
【答案】由于四个样本量不全相等，其中有一个样本量小于5, 故选用修正的Bartlett 检验进行方差齐性检验. 为此先计算一些中间结果，它们是
由此算得修正的Bartlett 检验统计量
对给定的显著性水平由于
8． 设
（1）（2）
【答案】（1）
（2）
9． 设
为自由度为n 的t 变量，试证:
的极限分布为标准正态分布
其中
故的特征函数为
，查表得
，
，故不拒绝原假设，可认为四个总体方差彼此相等. 是来自
的样本，试求下列概率
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知