2017年大连海洋大学生物学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设0 【答案】由条件 2． 证明： （1）（2） 【答案】（1）由 移项即得结论. 得 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 3． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的. 【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有 （2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即 则由（1）知 所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得 P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立. 4． 设随机变量序列独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且证: 【答案】这时 仍为独立同分布, 且 试 由辛钦大数定律知结论成立. 5． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明 ： 【答案】由又因为所以得 第 2 页，共 44 页 得 进一步由 6． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量, 且 试证: 【答案】 7． 设 是来自 的样本，证明 为 没有无偏估计. 【答案】（反证法）假设的无偏估计，则 由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即 8． 设 没有无偏估计. 是总体 的简单随机样本， 记 （I ）证明T 是（II ）当【答案】（I ） 的无偏估计量； 时，求DT 。 故T 是 的无偏估计量。（II ）当 第 3 页，共 44 页 时， 9． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量 【答案】因为 所以由X 与Y 的独立性得这正是 分布 的特征函数, 由唯一性定理知 ，求 ，证明： 及偶函数性质可得 , 且X 与Y 独立, 则 10．[1]设随机变量 [2]设 【答案】利用变换 [2]在题[1]中令 即可得结论. 二、计算题 11．设离散总体的分布列为 现进行不返回抽样, 函数）. 【答案】由于N 有限, 抽样是不返回的, 所以样本 中诸的分布列与总体的分布列相 其中 代回原协方差表达式, 可得 同, 但诸间不相互独立, 即此样本不是简单随机样本. 以下我们先求诸Xi 的期望、方差与协方差: 为样本, 为样本均值, 求 与 （表示成N 的 由此可得样本均值的期望与方差 第 4 页，共 44 页