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一、证明题

1． 证明

：

【答案】考虑二重积分因为.

所以故

2． 证明：若级数

【答案】假设发散.

3． 若

为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则

，由连续函数的局部保号性知：

，

有故

，

【答案】由题设存在使得对一

切

也发散

m ，收敛. 因

_

.

M

；

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，

所以若

且

分别取D 为，

. 故级数

且连续，所

以

二、解答题

4． 设

【答案】

因为

所以

记

对固定的n ，在

上应用第一积分中值定理，有

其中通过计算可得

故

5． 设

这里max 表示取最大值函数，求f （x ）的原函数.

当

时，有

当

时，有

所以f （x ）的原函数为

6． 1) 求下列函数的傅里叶级数展开式：

2) 求函数

的傅里叶级数展开式，并应用它推出展开为傅 里叶级数，

所以在区间

内，有

(2) 在

上

【答案】f （x ）的原函数为

【答案】1)(1) 将f (x ) 进行周期延拓，又因f (x ) 在(0, 231) 内按段光滑，故由收敛定理，f (x ) 可

所以

所以在区间

内

在

时，上式右端收敛于

所以在闭区间

上

(3)

所以，在

内