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一、证明题

1． 设f 在点证明：

【答案】由于

所以

而

故

2． 1) 设

(1) (2) 若

则

证明：

(又问由此等式能否反过来推出

) ；

可微，且在给定了 n 个向量

相邻两个向量之间的夹角为

2) 应用上题的结论证明下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) (6)

(7) 若

(8) 若

【答案】(1)

因为

于是当

则则时，有

所以对于任意

的

存在正整

数

当

时，

有

其中

的

存在正整数

使得当

时，有

取

则当

时，有

故

由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由

有

由1)(1) 的结论可得

再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为

(2) 令

(3) 令

所以

则

如果a=0, 则

综上所述，有

由第1)(2) 题知，

则

由第1(2) 题知，

又因为所以对上面

例如

可得

如果a>0, 那么

但不收敛.

由平均值不等式

且

(4) 令

则

由第1)(2) 题知，

) .

(5) 令

则

由第1)(2) 题知，

因而

(6) 令

则

由第3(1) 题得知，

(7) 补充定

义

令

则

由

知

因

为

所

以

由第1)(2) 题得

(8) 令

则

由第1)(1) 题知，

3． 求证

：

【答案】当有

因为

是一个固定的数，所以

时，即

时，

结论显然成立，当

即

时，设

则

由夹逼准则及(*) 式推出

二、解答题

4． 已知直线运动方程为运动的平均速度及

【答案】

令

可求得平均速度分别为

分别令求从至这一段时间内

时的瞬时速度.