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一、证明题

1． 设

为(a ，b ) 内的有界函数. 证明

：

【答案】因为对任意

在(a , b ) 内有界，则存在M>0，使得. 利用拉格朗日中值定理，得

其中

介于

和

之间，显然有

于是有

由此可知且仅当 2． 设

【答案】由

利用已知的关系式

可得

注意到

由上式得

易见

3． 用

由命题知，

方法证明

：

则

存在. 在已知的关系式两边取极限可知

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在(a ，b )

内一致连续当且仅当

其中

在(a , b ) 内一致连续当且仅当

结论得证.

在(a , b ) 内一致连续，在(a ，b ) 内一致连续当

证明:

【答案】令

取

则当

时，有

即

二、解答题

4． 计算曲线积分

其中为圆周：

L 的方向是：从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】

5． (1) 设

为正项级数，且

有

. 能否断定能否断定级数

使得

收敛？

不绝对收敛，但可能条件收敛？(3) 设

但

发散.

为收

(2) 对于级数

敛的正项级数，能否存在一个正数

【答案】(1) 不能. 如取(2) 不能. 由题意知从而

(3) 不一定.

如取

6． 对幂级数

故

且

发散. 则存在

.

则

满足条件，但若取可知收敛，

但对任意的

(1) 求收敛域；(2) 求和函数；(3) 讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性. 【答案】(1) 由

于

所以收敛半径为1,

又

发散，故

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的收敛域为

(2) 令

则

其中

故(3)

取

则

由于

不趋于0,

于是

所以

在

(-1，1) 上不一致趋于0, 故该幂级数在收敛域上不一致收敛.

7． 已知直线运动方程为分别令运动的平均速度及

【答案】

时的瞬时速度.

求从至这一段时间内

令即

可求得平均速度分别为

时的瞬时速度为

8． 研究函数

的连续性，其中f (x ) 在闭区间[0, 1]上是正的连续函数。 【答案】当

时被积函数是连续的，因此F (y ) 为连续函数。当y=0时有F (0) =0。设m 为f (x )

于是当

时，

而

所以F (y ) 在点y=0不连续。

9． 求由方程

【答案】方法一 由隐函数求导，得

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在[0，1]上的最小值，则

所确定的函数z=z(x ，y ) 的极值.