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一、证明题

1． 设f , g 和h 为増函数，满足

【答案】由于是

2． 设与g 是定义在

收敛，则

【答案】因为

收敛. 又因为

3． 证明：在n 个正数的和为定值条件

下，这n 个正数的乘积术中值

【答案】

令

的最大值为上的函数，对任何与

并且

它们在也都收敛。

和

根据比较判别法，

都收敛，所以

也收敛。

上都可积. 证明：若

与

证明

：

和f , g ，h 均为增函数可得

并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算

解得所以

由题意知，最大值在惟一稳定点取得.

故

*

因此

二、解答题

4． 过点（4，0）作曲线

（1）求切线的方程；

（2）求由这条切线与该曲线及x 轴所围成的平面图形（如图所示）绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积

的切线.

图

【答案】⑴令

则

过点（4，0）作曲线

的切线，切线与x 轴交点的横坐标是

即切点的横坐标是

于是切线斜率为

（2）所求的旋转体的体积为

5． 计算下列瑕积分的值（其中n 为正整数）：

【答案】（1）当当

时，设

时，有

切线方程是

从而有

（2）令

则有

于是

因此有而所以有

6． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：

【答案】(1) 因又(2)

因为

收敛，故收敛域为

(3) 记

所以

收敛半径

当

时，级数为

通项为

则

故(4)

因(5)

设

收敛域为(6)

设

为

当

时，原级数可化为

对于级数

因为

故级数当

收敛，又时，原级数可化为

故收敛半径与级数

故收敛半径

收敛区间为收敛区间为

当

时，级数

时，级数均发散，故收敛域为

即时级数发散，故收敛域为故收敛半径为

则

故级数收敛半径

故

：收敛域为故对任取定的

有

故级数的收敛半径为

从而收敛区间

收敛，故时，原级数收敛.