2017年哈尔滨理工大学应用科学学院823高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【解析】
3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D.
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则分块矩
的伴随矩阵为（ ）.
【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
，
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
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二、分析计算题
6． 设角阵.
【答案】由于A 正定，有实可逆阵
为对角阵
对角阵. 7． 设
（1）证明（2）证明：【答案】（1）显然，
所以
（2）
故线性方程组
8． 求函数
在实单位球面上：所取的值.
【答案】由上题知
其中
分别为A 的最小特征值与最大特征值，A 为二次型f 对应的矩阵，
且
计算可得
当
时，得特征向量
单位化得
当
时，得特征向量
单位化得
有最大值
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方阵A ，B 皆为实对称阵，且A 为正定阵，则有实可逆阵C 使
使
这时
及同时为对
使
仍为实对称，则有正交阵
令
则
及
正交，于是同时为
必有解.
1的解是因此
与
的解. 又设
同解，所以
所以
有解.
则
即
达到最大值与最小值，并求出达到最大值与最小值时z ，y ，z
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