2017年哈尔滨理工大学应用科学学院823高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】（C ） 【解析】设
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
线性无关.
因为所以向量组
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
线性无关.
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
分别为A ，B 的伴随矩阵，
二、分析计算题
6． 设A 是n 阶方阵，且
【答案】解法1:因为
所以
又因为解法2:因为
所以
由于所以
的充要条件是
（E 是n 阶单位矩阵，
，是A 的转置矩阵）
求
7． 设A 为n 阶方阵，证明：
【答案】因为
所以
故
8． 设
是线性空间V 上的线性变换，如果
但
用
上式成为
再用因此
作用于此式两端，
可得
线性无关.
由
得
这样继续作下去，
即得到求证
作用于此式两端. 由
于
线性无关.
【答案】设
有
得
但
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