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一、分析计算题

1． 设V 是一n 维欧氏空间，

（1）（2）

的维数等于n-l.

所以

有

所以对

中向量x 及实数k 有

所以因此

是V 的一个子空间.

易证

所以

是

（2）将扩充成V 的一组标准正交基

非空.

【答案】（1）因为对V 中两个向量

是V 中一固定向量，证明：

是V 的一个子空间；

n-l 维的.

2． 用J （A ）表示n 阶方阵A 的若尔当标准形. 证明：对任意复数A 均有

【答案】设为阶若尔当块且

则由此得

因此，

3． 证明：如果对于某一个6次方程有

【答案】由由牛顿公式

所以

故由上题

那么

时公式可得

4． 证明：正交矩阵的实特征根为±1.

【答案】设A 是一个正交矩阵，于是

因为

5． 求下列

所以，

得出„

即

是A 的一个实特征根，是对应于

的一个特征向量

.

矩阵的不变因子：

【答案】（1）因为（2）因为

所以不变因子为

所以，不变因子为

（3）当

时，原矩阵成为

此时

不变因子为1，1，当

时，

有一个3级子式

与

互素. 所以得

因此不变因子为

（4）（5）

6． 设有齐次线性方程组

试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【答案】解法1:方程组系数行列式

当

即a=0或

时方程组有非零解.

当a=0时，

故方程组与如下方程同解:

由此得基础解系为：

故方程组通解为当

其中

为任意常数.

时，对系数阵作初等行变换有