2017年哈尔滨理工大学应用科学学院823高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 4． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时，
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． （1）设咒阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式，问A 与B 是否相似? 若是，则给予证明；若不是，则举出反例.
（2）
设
这里
分别表示A ，B 的属于特征子空间.
【答案】（1）矩阵A 与B 不一定相似，例如
则它们的特征多项式相同，均为（2）必要性. 由
故
则
中对角线上皆为
若当块的块数为m.
当m=l时，A ，B 的若当标准形皆为
故
最小多项式也相同，均为
于是
显然A 与B 不相似.
因而
充分性.
设
的代数重数为3, 几何重数为m , 故A , B 的若当标准形
都只有一个特征
值
证明：A 与B 相似的充分必要条件
是
则存在可逆矩阵P ，使得