2017年海南大学信息科学技术学院829高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时，
2． 齐次线性方程组
【答案】B 【解析】
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
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使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
3．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到
基
【答案】（A ） 4． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
则A 与B （ ）.
由②有
为空间的两组基，且
使
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其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 设V 是n 维线性空间
（1）证明：（2）证明：
【答案】（1）由维数公式得
又因为
所以有
从而
（2）由（1
）知
所以显见（3）取又令则有且
等价于
的充要条件是
的充要条件是
命题得证。
则有
考虑到
且
X 和Y 为V 的两个子空间，并且
当且仅当Y 是X 的子空间。
（3）举例说明：存在满足题设条件的线性空间V 及其子空间X 和Y , 使得
V 为3维几何空间
7． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明：若A+B=AB，则
①AB=BA； ②r （A ）=r（B ）.
=E.从而=E.由此得A+B=BA.故AB=BA. 【答案】①因A+B=AB，故（A-E ）（B-E ）（B-E ）（A-E ）证法I 因为A+B=AB，故A=（A-E ）B ，B=A（B-E ）且
所以r （A ）=r（B ）.
证法II 利用分块矩阵初等变换.
由
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得但是