2017年武汉大学物理科学与技术学院601高等数学(理学)考研题库
● 摘要
一、解答题
1． 求下列伯努利方程的通解
【答案】（1）将原方程改写成且原方程化为
其中故即
为所求通解。
并
令
故原方程的通解为
或写成
（3）将原方程改写成
，并令
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，并令
（2）将原方程改写
成
则且原方程化
为
则
于是原方程化为
即为所求通解。
并令
则
（4）将原方程改写成且原方程化为
故原方程的通解为（5）原方程可写成且原方程化为
即
令z=y, 则
-2
故原方程通解为
或写成
2． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成
2
反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
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，且由，积分
得
，故有微分方
程，分离变
量，
3． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
4． 镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知，镭经过1 600年后，只余原始量R 0的一半. 试求镭的存量R 与时间t 的函数关系.
【答案】设在时刻t ，镭的存量为
，即
。
，将t=1600，
，代入上式，得
，即
，
，由题设条件知，
，即
，
积分得
R=R0，因t=0时，故C=R0，所以
5． 已知函数
满足
。
，且，求曲线所成
的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积。
【答案】由于函数连续函数；又
故知令
，可得
，得到
；且当y=-1时，x 1=1，x 2=2；则曲线
6． 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
，切点为（z ，y ）. 依条件，切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y（x ）别为2x 与2y ，于是切线的斜率
积分得代入初始条件
7． 求下列微分方程的通解:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
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满足
，
，故，其中C （x ）为待定的
所
成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积为
，分离变量得
。
。
，即
得C=6。故曲线方程为xy=6。
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