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一、证明题

1． 设

在区间上有界，记

因为

即

对

由

知：

是使得

上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在

上一致收敛于f , 则成立帕塞瓦

同理证明

【答案】

对

而

|的一个上界.

使得.

综上所述：

2． 设f 为

所以

所以有

从

尔(Parseval ) 等式：

这里

为f 的傅里叶系数.

因为f (x ) 的傅里叶级数在

上一致收敛于f ，所以，任给

时，

所以从而，由式

可得

3． 设

在

上连续，在

内二阶可导，证明：

【答案】记

则过三点

的抛物线为

令

则

故存在

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【答案】设

存在N , 当时，有

故对上述的当

使

而

又

由 4． 证明：若在则

立即可得出结论.

上为连续函数，且对任何为常数。

【答案】由题设知，

当

特别对任何

5． 设a>0，b>0, 证明

：

【答案】构造函数

展开可以证明，

所以又因为

所以原命题成立.

6． 设

且

试证

因此

又因

为

于是有

由柯西收敛准则，得

在

上一致收敛.

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有常数，于是对任

何

有

时

，今

则有

这里 为常数。

递增.

在上连续，又有函数列

在当在

上也一致收敛.

在

且

在上一致收敛，

【答案】由一致连续性定理可知上也一致连续.

时，有

有

上一致收敛，由柯西收敛准

则

二、解答题

7． （1）用定义证明

：

（2）求【答案】（1）

取

则当

时，

（2）

8． 计算下面的三重积分：

⑴(2) 其中

则

(2) 作新坐标系换(

从坐标系

使轴过点

且使坐标系

到坐标系

之间的变换为正交变到坐标系则由(1) 知

9． 求

【答案】

方法一令

在全平面上的最大最小值.

可得驻点(1，0) . 通过计算易知

，

所以(1，0) 为极小点，极小值为f (1，0) =-1.注意到

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【答案】(1) 作柱坐标变换：

坐标系可通过旋转变换来实现，因此从坐标系之间的

正交变换是存在的) ，变换的行列式为1.

显然该变换将半径为R 的球仍变为半径为R 的球. 记