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一、证明题

1．

设

为区间

【答案】因为

得

又因为

即

根据闭区间上连续函数的介值定理，存在

2． 证明二重积分中值定理(性质7) .

【答案】性质7 (中值定理) 若f 为有界闭域D 上的连续函数，则存在

因为f 在D 上连续，所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m ，对D 中一切点有由性质4知：

即

再由定理16.10知，存在

3． 设

在

使得

若

.

中可选取子列

满足

由于这个

显然

这与最小值点的惟一性矛盾.

4． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列

【答案】令M=l，存在

使得

再令

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上的连续函数，

且证明：

存在

使得

为区间上的连续函数，所以存在最大值与最小值，即存在M , m ，使

.

使得

使得

上连续，且有惟一最小值点

则

于是

在

【答案】假设且

子列有界，由致密性定理，可从它中再选取一个收敛子列，

仍记为

使得

则存在

使的

即

且

如果已找到

令

使得

则存在

使得

由题设则有

于是由

即

由

使得当

时，有

可以确定连续可微隐函数

【答案】因为

所以

试证：

使得当

时，有于是，当

时，有

对此

由

按定

再根据序列极限与函数极

使得

即

由

归纳原理知，存在一递増数列 5． 设

求证：

【答案】方法一在

在

上定义，且上任取一个序列

限关系定理揭.

方法二对

义即有

6． 设

二、解答题

7． 设C 是柱面计算曲线积分

【答案】由斯托克斯公式得

与平面

的交线

a 从x 轴正向看为逆时针方向，

I.

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8． 设

考察函数，在原点(0, 0) 的偏导数. 【答案】由于

不存在，

所以，f (x ，y ) 在原点关于x 的偏导数为0, 关于y 的偏导数不存在.

9． 设函数下，方程

并研究例子：

【答案】设

故由教祠(i ) 设

由于

10．设

在

上连续，求证：

【答案】分两种情况讨论. （1）如果

在

上不变号，则

即要证的不等式成立. （2）如果又因为故有

在在

上变号，则存在上连续，存在

使得

（用微积分基本定理）

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在区间内连续，函数

在区间内连续，而问在怎样的条件

能确定函数

显然

注意2知，

若

由于

在上连续

.

即存在点

都在R 上连续，且

可确定函数

故方程

不能确定函数

所以

，满足

又

就可在

附近确定隐函数

故由上面的结论知方程

使得