2018年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列函数所确定的反函数组的偏导数:
（1）
（2）
【答案】（1）因
求求
所以由反函数组定理, 得
（2）关于x 求偏导数得
解之得
2． 求下列复合函数的偏导数或导数:
（1）设（2）设
（3）设
（4）设
（5）设
（6）设
求,
求
（2）
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,
求求
求求
【答案】（1）令 u=xy,
则
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（3）
⑷
（5）由于
所以（6）
3． 讨论下列函数在点（0, 0）的重极限与累次极限:
（1）（2）（3）（
4）（5）（6）（7
）
趋于定点（0
, 0）时,
这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时, 对应的极限值均不同,
因此, 函数时的重极限不存在, 但累次极限:
（2）函数的两个累次极限都不存在. 又
故
可见函数
的重极限存在且为零.
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【答案】（1）当动点（x , y
）沿着直线
当
（3）函数的累次极限为:
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所以, 函数
的两个累次极限存在且相等,
由于故
（4
）累次极限为:
因此, 函数
的两个累次极限存在且相等. 现让动点沿着曲线
故函数
的重极限不存在.
不存在.
又可见函数
（6）累次极限为:
故函数当沿
的两个累次极限存在且相等
. 趋于（
0, 0）时,
当（x , y ）沿（7）累次极限为:
不存在, 不存在,
即函数
的两个累次极限均不存在, 当动点（x , y ）沿x 轴正向趋于（0, 0）时
,
趋于（0, 0）时,
可见重极限
不存在.
故
的重极限存在且为零.
向（0, 0
）点移动
.
. 不存在.
从而
（5）累次极限为:
不存在, 故函数的重极限也不存在.
4． 设为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个数
都是[a, b]上的单调函数, 则级
在[a, b]上不仅收敛, 而且一致收敛. 【答案】级数可记为
设
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则在[a, b] —致有界.