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一、证明题

1． 设总体的概率函数证明费希尔信息量

【答案】记，

，则

所以

另一方面，

这就证明了

2． 设随机变量X

有密度函数Y=与

不相关、但不独立. 【答案】因为

不相互独立，特给定

使得

所以X 与

3． 令【答案】

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的费希尔信息量存在，若二阶导数对一切的存在，

且密度函数所以

是偶函数，假定

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

证明:X 与不相关.

为证明

不独立. 表示服从二项分布

的随机变量，试证明:

4． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

:

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.

5． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

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这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

6． 设随机变量

【答案】

7． 设总体为

证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则

由于从而

这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到

所以

从而

于是

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，试证明:

为样本，

都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得

是的无偏估计，且

的均值与方差，

令

因而

故