2017年河南科技大学数学与统计学院856高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. 有非零解
B. 如果秩
则
有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解
【答案】D 【解析】秩
未知量个数，
有零解.
2． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】 C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
4． 设
则A 与B （ ）.
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
所以A 的特征值为3，3，0；而
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 用J （A ）表示n 阶方阵A 的若尔当标准形. 证明：对任意复数A 均有
【答案】设为阶若尔当块且
则由此得
因此，
7． A 是n ×m 矩阵. 对
记
其中
试证下述Binet-Cauchy 公式：设A
为
阵，B 为
阵，则
【答案】易知
当p>q时，把（1）的右端按最后p 列展开，则在它的q+p行中任取p 行所组成的p 阶子式中至少有p —q 个行是零向量. 由Laplace 定理知这个行列式为零. 这就证明了第一种情形.
当
时，仍将（1）的右端按最后P 列展开. 则
中不为零的P 阶子式最多有
个而其
中任意一个都是某个子式中的代数余子式恰好是
先求出特殊的子式
若能证明它在这个p+q阶行列式
则由Laplace 定理就可证明第二种情形. 的代数余子式. 把（1）的右端行列式作如下分块
其中
可看出
的代数余子式是
由于p （p+1）是偶数，
把上面行列式按最前面p 个列展开，得
结果
的代数余子式是
再来求任一P 阶子式
的代数余子式. 把（1）的右端行列式
中的前q 行的子矩阵中第后上面行列
行依次与第1行，第2行，…，第p 行对换. 这样变换