2017年河南工业大学理学院837高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩 2． 设
【答案】（C ） 【解析】设
由秩A=2, 可知可由线性表出.
3． 齐次线性方程组
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
使AB=0, 则（ ）
.
【答案】C 【解析】若当C.
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使
因此A 与B 合同. 5． 若都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
二、分析计算题
6． 设矩阵A 的伴随矩阵
且
【答案】用
其中E 是4阶单位矩阵，求矩阵B 。 左乘同时用A 右乘等式
又因为
得
再由已知A*，
可得
即所以可逆，从而由①式可解得
7． 设为AB 和BA 的非零特征值，证明：AB 的属于的特征子空间空间
的维数相同. 【答案】设下面证明设则于是由由
和
线性无关，则线性无关，则
故类似可证
线性无关.
故
线性无关. 事实上，若
则由次证
线性无关，则有无穷多个，只要答:若
则
故
不然，则
和BA 的属于的特征子故
是的基，贝!J ,
于是
线性无关.
8． 设V 是n 维线性空间
【答案】设先证
只要证
证明：V 的r 维子空间有无穷多个，其中
是V 的基，令
线性无关.
设