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一、解答题

1． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值，

（1）（2）（3）

【答案】（1）解方程组由于在边界﹣2）上，值﹣4.

（2）解方程组数的稳定点及其函数值有:

而边界点（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0, ﹣1）的函数值都等于1，所以函数的最大值点为（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1），最大值为1, 函数的最小值点为（0，0），最小值为0.

（3）解方程组在区域内部仅而在边界所以函数在点

取得最大值为稳定点

得cosx=cosy因此稳定点在x=y或

，

上函数值均为零，

，在边界上取得最小值为0.

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得稳定点（0, 0）.

所以（0, 0）不是极值点.

上，

由

得稳定点x=0, 这时，

在点（0, 2）和（0，

比较

同理，在边界点（2, 0）和（﹣2, 0）上，

各点的函数值知，在点（2, 0）, （ ﹣2, 0）函数取最大值4, 在点（0, 2）, （0, ﹣2）函数取最小

得稳定点（0, 0）, 函数值z （0, 0）=0.考察边界上相应一元函

上，

2． 求

之和.

【答案】用S n 表示级数的前n 项部分和, 则

故

3． 设

【答案】由又

在

计算积分

而

上连续, 从而由定理知

4． 设K>0, 试问k 为何值时, 方程

【答案】令如果方程则存在

如果

使得, 则

于是因为在区间使得

,

即方程

, 因而存在

, 所以存在

上应用连续函数根的存在定理可得, 存在

, 使得

, 使得

,

, 由此得

其中K>0.则存在正实根

即

根据罗尔中值定理,

, 于是

反之,

存在正实根.

收敛可得级数

一致收敛.

有正实根. 综上所述, 原方程存在正实根,

当且仅当

5． 周期函数的原函数是否还是周期函数？

【答案】设F （x ）是f （x ）的原函数, 且

.

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因此, F （x ）也是周期函数.

6． 对幂级数

（1）求收敛域； （2）求和函数；

（3）讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性. 【答案】（1）由于故（2）令

所以收敛半径为1，又

的收敛域为（﹣1，1）.

，则

其中

由于

故（3）取

，则

.

不趋于0, 于是

所以

发散，

在（-1, 1）上不一致趋于0, 故该幂级数在收敛域上不一致收敛.

7． 试分别举出符合下列要求的函数f :

（1）

【答案】（1）令（2）令

8． 计算下列曲线积分:

（1）（2）（3）（4）B :

（5）

, L 是抛物线

从A （0, ﹣4）到B （2, 0）的一段;

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（2）不存在. 则

而

于是

, 则:不存在.

其中L 是由和x+y=2所围的闭曲线;

其中L 为双纽线其中L 为圆锥螺线

L 是以a 为半径, 圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点