2018年郑州大学联合培养单位洛阳师范学院655数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设定义在[a, b]上连续函数列
满足关系
对于在[a, b]上的可积函数f , 定义
证明:
收敛, 且有不等式
【答案】设
依题意可知
与
均在[a, b]上可积
.
其中
所以
故
即级数
的部分和有上界, 从而
收敛, 且
, 使得
, 使得
,
则
.
严格递增. 取
2． 设函数f （X ）在区间
【答案】若
下证:在题目的条件下
,
上二次可微, 且有界. 证明:必变号. 若不然,
不妨设
第 2 页，共 26 页
变号, 由导数的介值性,
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
,
使若若
. 则当, 则当
并令
并令
时, 有
时, 有
这与f （x ）有界性假设相矛盾.
对
3． 设
为
可类似地证明.
内的递增函数. 证明:在由
内单调递增
, 取知
‟
使得
, 故
类似可证
4． 证明定理 （有限覆盖定理）:
设个开域用直线
为一有界闭域,
为一个开域族
, 它覆盖了
D （即„
）.
t 之中, 并假设D 不能被
中有限个开域所覆盖,
分成四个相等的闭矩形, 那么至少有一个闭矩形
其中每一个闭矩形
中都至少含
）. 则在
中必存在有限
它们同样覆盖了 D （即
把矩形
,
取
, 则当
, 即
在与
都存在
, 且
【答案】 对
对
.
内有上界,
从而有上确界, 记
, 由上确界定义知
时有
【答案】
设有界闭域D 含在矩形它所含的D
的部分不能被所含的D
的部分都不能为有D 的一点, 任取其中一点为
由闭矩形套定理可知:存在一点由于
中有限个开域所覆盖, 把这个矩形（若有几个, 则任选其一）再分为中有限个开域所覆盖,
于是, 每个闭矩形
则
且
满足对任意的自然数N 都有:
四个相等的闭矩形, 按照这种分法 继续下去
, 可得一闭矩形套
所以
第 3 页，
共 26 页
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
又因在由于
是有界闭域D 上的点, 所以中必有一开域包含
不妨设此开域为
使得
和一个邻域
按定理条件,
.
则必存在点
故n 充分大时, 恒有
可见, 矩形但是, 这与每个故
包含于邻域中, 从而包含于开域中,
中有限个开域所覆盖矛盾,
中所含的D 的部分不能被
中必有D 的有限开域覆盖.
二、解答题
5． 求曲面
与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.
则根据导数的几何意义, 切线对Ox 轴的斜率为
【答案】设该角为
所以切线与Ox 轴的交角为
6． 若一元函数在[a, b]上连续, 令
试讨论f 在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】先讨论f 在D 上的连续性.
任取
且因此当
于是f （x , y
）在点由于
因为时, 有
且
时,
处连续, 因而f 在D 上连续.
下面讨论f 在D 上的一致连续性:
在[a, b]上连续, 从而一致连续.
存在
使当
且
时, 有
故f 在D 上一致连续. 7． 设
【答案】对方程组
第 4 页，共 26 页
在[a, b]上连续,
从而对x 0连续,
对任给的
存在
使当
于是对任给的
因此, 当
时, 有
且
从而
试求