2018年太原科技大学应用科学学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】
∴又
2． 设
【答案】因为
所以函数是连续的. 因为
所以函数是可微的.
，讨论函数的连续性和可微性.
试验证
并求
3． 求下列幂级数的收敛域:
（1）（2）
【答案】（1）设
, 则
故收敛半径为（﹣R , R ）.
（2）设
则
:
故收敛半径为
又
所以原级数在
时发散, 故收敛域为
4． 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性:
（1）（2）
【答案】 （1）
因所以由
（2）（1）
时,
故设从而
（ii
）当故
在
. 则f （x ）在
上不连续, 又
上可积.
,
又当故原幂级数在时发散, 收敛域
时,
, 故
的极限函数f （x ） =0可知f （x ）在[﹣1, 1]上连续, 可微且可积.
在上连续,
上不可微,
上不一致收敛. 由f （x ）不连续可得, f （X ）在时,
显然f （x ）在任意有限区间
所以
由上可积.
5． 设
【答案】
6． 把函数
在（0, 4）上展开成余弦级数.
【答案】对f （x ）作周期为8的偶延拓, 得一连续偶函数, 故在（0, 4）上可将f （x ）展为余弦级数
.
f x ）可知（在
上连续、可微, 在任意有限区间
, 试按h , k , 1的正数幕展开
所以由收敛定理, 在（0, 4）内
.
二、证明题