2018年山西师范大学教育科学研究院809数学综合[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设a>1, b>1为两个常数, 定义在
有
【答案】由由及对故
2． 设
在点
存在,
在点
在点
连续, 证明f （x , y ）在点
其中
. 于是有
连续, 所以
当
故f （x , y ）在点
3． 证明:函数
【答案】因为由于当
时,
极限不存在, 因而z （x , y ）在点（0, 0）关于x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在.
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上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对
. 证明:
.
, 而b>1知f （0）=0, 故只需证明
可推得, 当
时,
有
（n 为任意正整数）, 而f （x ）在x=0附近有界,
所以
, 于是取
, 当
时有
, 从而
, 由b>1可知存在正整数N , 使得
可微.
【答案】因为存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
, 从而
可微.
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
在点（0, 0）连续但偏导数不存在.
所以函数
在点（0, 0）连续.
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4． 由根式判别法证明级数
【答案】记
收敛, 并说明比式判别法对此级数无效. 则
故比式判别法对此级数无效. 又
故
由根式判别法知此级数收敛.
二、解答题
5． 求一曲线y=f（x ）, 使得在曲线上每一点（x , y ）处的切线斜率为2x , 且通过点（2, 5）.
【答案】由题意, 有
, 即
又由于y=f（x ）过点（
2, 5）
, 即
5=4+C,
故C=l.
因而所求的曲线为
6． 设
【答案】由
是定义在是定义在
上的连续的偶函数, 则上的连续的偶函数知.
从而
所以原命题成立.
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.
从而令
有
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7． 计算第二型曲线积分:
其中A （1, 1）, B （2, 4）分为两种情况: （1）（2）
为连接A , B 的直线段; 为抛物线:y=x.
直线段的方程为y=3x-2, 所以
（2）
8． 展开函数
为正弦级数, 并指出当【答案】将f （x ）作以
时, 此级数之和. 为周期的奇延拓,
故对
9． 用极坐标计算下列二重积分
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）
（2）应用极坐标变换后积分区域
从而
, 其中其中
, 其中D 为圆域
, 其中D 为圆域
.
, .
. 当
时, 上述级数收敛于.
.
2
【答案】（1）
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