2017年湖南科技大学数学与计算科学学院613数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：闭域必是闭集，举例说明反之不真.
【答案】(1) 设D 为闭域，则有开域G 使
其中为G 的边界，设.
中为G 的余集即关于
下证
若不然，则存在
中含有G 的点Q , 于是因此②真，由①知
故不是D 的聚点，这就证明了：若为D 的聚点，则. (2) 例如
2． 设
因此D 为闭集.
是闭集，但不是闭域.
在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明：
其中
是
沿L 外法线方向n 的方向导数.
所以
因为
在D 上具有连续偏导数，由格林公式得
故
于是当
充分小时
由于
从而
这与以上结论矛盾.
则
且
由
知：对任意
其
的补集. 由于
从而存在
【答案】因为
二、解答题
3． 求由下列方程所确定的隐函数的极值
.
【答案】⑴
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令则有
将代入原方程得.
解此方程得
于是该函数的稳定点为±1, 且
故当(2) 设令
时有极小值时有极大值1. 则
解得
代入原方程解得
或
以再将
代入原方程，得
这时
解得
故
舍去.
再以
故稳定点为
而
在稳定点
均有
及
的表达式中，得
可见
与异号. 故
所以在点
4． 讨论级数
的敛散性.
取极大值，
，在点
取极小值
【答案】用柯西收敛准则.
取
让自然数适当大，取
显
然
考
察
因此
注意到，
当
时，
有
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这里用到了
5． 计算
：
，其中为
中
的部分.
(当适当大时) . 由柯西收敛准则可知，原级数发散.
【答案】化简并利用高斯公式得
y
6． 设
在[0, 1]上连续，在（0, 1）内有二阶导数，且
求证： （1）函数
在
内恰有两个零点；
使得在
（见图）:
上有惟一的最小值点
（2）至少存在一点【答案】（1）函数
图
显然
，否则.
这与
矛盾. 又因为
否则由凹函数的最大值在端点达到，导致
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这又与矛盾. 于是