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一、证明题

1． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】

对闭区间

所以存在一个开区间

间覆盖，从而

若这与

2． 设

，

则

矛盾. 故

即

可被H 中的有限个开区间覆盖.

即

由

覆

盖则

用类似的方法可以证明

在

的任一开覆盖

使得

构造数集如上，

显然有上界.

因为

覆盖闭区间

取

使

得

取加进去可知

使

得

知，存

在

则

能被中有限个开区

非空. 由确界原理知，存在

能被中有限个开区间覆盖，

把

上三阶可导，证明：存在实数使得

使得.

这是因为，若.

而且当

使

考虑

时，

. 这是因为，若

.

而且当

，使得

的假设下证明本题的结论.

由泰勒公式，

有

则必有考虑

时，必

中有一个为零，则结论显然成

【答案】若存在一点立. 因此，不妨设

不失一般性，假设则

进而，

不失一般性还可假设

则

有

于是，在

其中在X 与a 之问. 由此可知，存在再由泰勒公式，有

当

其中在x 与

则

之间. 由此可知，存在

当时若取

3． 设f 是定义在R 上的函数，且对任何证明对任何

都有

【答案】

由

都有

得

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若

即

于是或

者

矛盾. 所以

对任意

或

者

有

若

则这与题

设

4． 证明下列等式：

【答案】(1) 令

则

于是

(2)

由

可知

是瑕点. 令

则当

时，

由⑴得

5． 设f 为傅里叶系数，证明

【答案】因为f 为又

故

即

6． 证明公

式

【答案】因

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上的光滑函数，且为f 的傅里叶级数为f 的导函数的

上的光滑函数，所以f (x ) 在上有连续的导函数

其中S 是包围V 的曲面，n 为S 的外法线方

向

而

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

因此公式成立。

二、解答题

7． 试给出函数f 的例子，使f （x ） >0恒成立，而在某一点处有保号性有矛盾吗？

【答案】令

在实数集R 上

恒成立. 但

这与极限的局部保

号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求 8． 设

求证递推公式：

【答案】因为

所以

9． 计算近似值：

【答案】(1) 设

根据

，知

(2)

设

则

因而

这同极限的局部

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