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一、证明题

1． 设u n （x ）是[a, b]上非负连续函数, [a, b]上一定达到最小值.

【答案】记设

列, 仍记为{xk }, 不妨设

下证:u （x 0） =A. 反证法 若不然, 则由

, 使知,

, 使

, 当

由于S （递增, 故更有n x ）这样

便有

这与

相矛盾.

2． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和

上积分, 可得

. 于是存在适当大的k , 使

,

.

时, 有

, 则S n （x ）递增趋向于u （x ）, 且

则存在点列

且

,

使

.

存在收敛子

在[a, b]上点态收敛于u （x ）. 证明:u （x ）在

. 由致密性定理知

,

由S n （x ）在点x 0处的连续性知,

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即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

3． 证明:若

【答案】

若

从而

4． 证明:

当

【答案】因为

所以

时

为递增数列

, 则无界, 则

等式成立.

若

有界, 由单调有界原理可得

存在,

二、解答题

5． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小.

【答案】令1.

故

6． 求空间曲线

【答案】将

代人参数方程得

,

.

所以a=1是f

（a ）的极小值. 因此a=1时, 它与其倒数之和最小.

在P c （对应

）处的切线方程和法平面方程.

, 则

, 由

得

, 舍去－1得a =

该曲线的切向量为

由此得切线方程为

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法平面方程为

即

7． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式:

（1）（2）⑶【答案】 （1）

因此

f （x ）带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为

（2）

,

故

于是

（3

）

*

故有

于是

8． 求下列函数的导函数:

（1）

;

5

到含x 的项； 到含x 的项.

,

5

,