2018年长安大学理学院609数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 流体流速
S 求单位时间内穿过球面
（x>0, y>0, x>0）的流量.
【答案】设S 为所给球面, S 1, S 2, S 3是S 在三个坐标面上的投影面, 则有
其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S , S 1, S 2, S 3的单位法矢, 显然有于是所求流量为
. 故
. , 从而
2． 设是不含原点的有界区域, 其体积为V , 边界为光滑的闭曲面, n 是的外法线单位向量, r= （x , y , z ）, f （x ）是
上的连续可微函数, 它满足微分方程
【答案】因为:r= （x , y, z ）的单位向量为位向量为
,
则
所以
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. 求
, 其中, 的外法线单
3． 确定下列函数的凸性区间与拐点:
【答案】（1
）
时,
当（3）得（4）由由区间为
（5）当
, 凸区间为
4． 求曲线
（a>0, b>0）的全长.
得,
得
和
, 时
,
;
当和
, 拐点为
.
或
,
, 故拐点为
, 解得
或
, 凸区间为
和
.
由.
, 由时
,
得
,
. 故y 的凹区间为（2）
-, 时,
. 当
, , 凸区间为
时,
. 故y 的凹区间为
, 由
,
由
；
, y 的凸区间为
.
由于
得
.
（即.
由
得, y 的拐点为
.
当
. 时
,
;
当
-
）无实根, 故y 无拐点.
得x=－l , 于是拐点为（－1, 0）. 由
和
, 得
, 解得
. 故y 的凹
. 故y 的凹区间为（－1, 0）, y 的凸区间为
故y 的凹区间
为
【答案】将曲线改写成参数方程, 并计算微弧:
贅
因此
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5． 求下列极限:
（1）（3）（4）（6）
【答案】（1）极限而当（2）当（3）由于
时, 时, :不妨设
由所以
所以
则
所以
（4）
（5）
（6）因为
所以
（7）设
是一个正整数, 则
所以
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（2）
（5）（7）
在其有定义的邻域
内的值来决定.
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