2018年西安财经学院统计学院801统计学综合之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
所以
可分离变量，即U 与V 相互独立.
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
则
又故 即证
是
的无偏估计量.
且X 与Y 独
为总体的样本,
2． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又
3． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
的特征函数，由唯一性定理知
4． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:
【答案】
5． 设随机变量X
有密度函数Y=与
不相关、但不独立. 【答案】因为
不相互独立，特给定
使得
所以X 与
6． 设
不独立.
所以
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
不相关.
为证明
且密度函数
是偶函数，假定
证明:X 与
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
7． 设存在，且N 与
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
所以
8． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
存在，证明:对任意的
，
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
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