2018年西安财经学院统计学院802西方经济学与统计学(各占50%)之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X
有密度函数Y=与
不相关、但不独立. 【答案】因为
不相互独立，特给定
使得
所以X 与
不独立.
2． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得
3． 总体
（1）证明
. 进一步由
，其中
得
得
为取自该总体的样本，
为样本均值.
.
又因为
， 所以
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
不相关.
为证明
且密度函数
是偶函数，假定
证明:X 与
是未知参数，又
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
4． 设
是
的相合估计.
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
5． 证明:若
由此写出独立，
因此F 变量r 阶矩为
由
容易算得
与
则当
其中
且v 与W 相互
时有
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
【答案】由F 变量的构造知
不存在.
从而可得当
时，只要
就有
在其他场合，
当
时，只要
就有
6． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有