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一、分析计算题

1． （1）把矩阵

（2）设【答案】

令

则

故

现作如下乘积

.

故

己表成所要求的形式

.

先用所给定的初等变换把A 化成

中所述的形状：

先设

则

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表成形式为为一复数矩阵，

与的矩阵的乘积；

的矩阵的乘积.

，证明:A 可以表成形式为

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又由若

则

则

就化成前一种情形，这时A 也能表成给定类型矩阵的乘积.

2．

已知

能表成给定类型矩阵的乘积，故A 也能.

m 个向量线性相关，

但其中任意

则这些

个都

线性无关，证明：

（1）如果等式0;

（2）如果存在两个等式

其中

则

【答案】（1）若

那么其余的

则证毕. 否则总有一个

都不能等于0, 否则有

即

全不为0. 全不为0. 再看如果得

3． 设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数C , 问明理由.

【答案】是，设

是n 维列向量，则由A 的各行元素之和为常数C 知:

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或者全为0, 或者全不为

不等于0, 不失一般设

其中

这与任意

个都线性无关的假设矛盾，

从而得证（2）由于则③式成立. 若

由上面（1）知，全不为0, 则由

的各行元素和是否为常数? 若是，是多少? 并说

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所以 4．

设

的各行元素之和为常数

问a ，b 满足什么条件正定.

【答案】 （1）当变元的个数为偶数2m 时，f 的矩阵为

于是

故A 的特征值为

（2）当变元的个数为奇数

正定

5．

（均为m 重）

，故

时，

综上所述，f 正定

正定.

故A 的特征值为

设

不能由

线性表示；

惟一地线性表示

，并求出表示式；

线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式

. 使得

记

对矩阵

试

讨论当a , b为何值时，

（1） （2）可由（3）可由

【答案】设有数变换，

有

（1

）当

为任意常数时，有

可知秩

秩

故方程组①无解，不能由. 且

时，

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作初等行

钱性表示.

故方程组①有惟一解

（2）当