2018年电子科技大学数学科学学院835线性代数之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 矩阵
的三个特征值分别为1, 1, 1, 试将A 表示成矩阵, 求J , T 和
.
可得A 的线性无关的特征向量为
即它的几何重数为2, 代数重数为3, 当
时, 由
所以A 不能与对角阵相似, 且A 的
, 则由
标准形为.
【答案】由假设知
其中J 是A 的
标准形, T 是变换
令
可得
解得
所以
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2． 设
是任意复数, 求矩阵
的特征值与特征向量. 【答案】若征向量. 若
, 则
不全为0,
则多项式
于是
是B 的
n 重特征值, 任意非零列向量都是
的特
是次数大于零的多项式, 令
则
3． 计算范德蒙行列式
【答案】由行列式的定义知
是
次齐次对称多项式. 当
时，
由因式定理得
易知
，故
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4． 设是秩为1的n 阶实对称方阵. 证明：存在特殊实上三
角形方阵P 使
的充要条件是
式
，
【答案】设（4）成立. 由上题知
：由此得反之，
设对n 用归纳法. 当论显然；故设
并令
且
有相同的顺序主子式，即
下证（4）成立.
时显然. 假定对n-1成立，下证对忍成立：若
则
为顺序主子
即结
则有
其中B 为
阶对称方阵. 由上题知，A
与
有相同的顺序主子式，故
其中时，
是B
的
得
阶顺序主子式.
当
时
从而
阶特殊上三角形方阵
当使
于是由归纳假设，存在
易知是特殊上三角形矩阵且令得
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