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一、选择题

1． 设向量组

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

因为所以向量组线性无关.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

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线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.

线性无关.

则（ ）.

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3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的. 矩阵，则. 则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

. 则

也不是线性变换，比如给

,

【答案】C 【解析】而

4． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，

则【答案】D

【解析】

5．

设

其中A 可逆，则=（ ）. A. B.

C. D.

【答案】C 【解析】因为

1

未知量个数

所以

二、分析计算题

6． 求满足

【答案】

若若若

秩秩

则

的一切满秩方阵.

的所有n

阶方阵A.

则显然则由上题知：

若秩

故当

时

则

当

因此，满足

故此时

时亦可验算

的所有方阵是：零

方阵及适合

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7．

令

【答案】设由

为有限维欧氏空间的一个标准正交组,

对

是V 的基.

生成的子空间为W. 即

,

均有

设

那么

所以

又

所以由即 8．

设

是秩为1的n 阶实对称方阵. 证明：

存在特殊实上三角形方阵

P 使 所以

知

从而

为V

的基:

结合正交组线性无关知

的充要条件是式，

【答案】设（4）成立. 由上题知：由此得反之，设对n 用归纳法

. 当论显然；故设

并令

且

有相同的顺序主子式，即

下证（4）成立.

时显然

. 假定对n-1成立，下证对忍成立：若

则

为顺序主子

即

结

则有

其中B 为

阶对称方阵. 由上题知，A 与

有相同的顺序主子式，故

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