2018年东南大学数学系933高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
求W 的维数与一组基.
【答案】设
由
得
化简后得
其中即
类似还可得
为自由未知量.
令
,
得
于是设
且且
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线性无关. 因此B 可由这样
,
且
线性表出, 比如,
为
它的一组基.
2． 设A 是数域K 上的一个
（1）证明:W 关于（2）设线性方程组
矩阵, B 是一个m 维非零列向量, 令
的子空间.
的运算构成
的増广矩阵的秩为r , 证明W 的维数
（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基. 【答案】（1）显然W 是因为
所以. （2）因为明,
对于任意的
故W 是
所以存在
的子空间. 元线性方程组使
的解空间V 的维数为
下面证
显然t 是惟一的, 于是
是映射, 容易验证是双射.
存在
使
那么
故是同构映射, 从而
（3）由（2）的证明可知W 和线性方程组
的解空间V 同构, 解得
这里它们
是自由未知量. 取基础解系
在下的原像为
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的非空子集. 则存在使. .
于是
故是W 的基.
3． 计算下面的行列式：
原行列式
【答案】
4． 试就实数域和复数域的两种情况，求
的标准分解式.
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