当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B. 2． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B.

则（ ）.

C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

的伴随矩阵为（ ）.

则分块矩

且

所以

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

，

分别为A ，B 的伴随矩阵，

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

二、分析计算题

6． （1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的；

（2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基. 【答案】（1）设别是A ，B. 再设由

对

则

设

于是

（2）设V 是一个n 维欧氏空间，任取V 的一组基是A. 因为A 是正定矩阵，因此有可逆矩阵C 使

以C 为过渡矩阵，得到V 的另一组基

而且

的度量矩阵为E.

所以

是V 的一组标准正交基. 这说明任一欧氏空间都有标准正交基.

7． 设X 、Y 是两个n 维向量，A 为n 阶实方阵，证明：

（1）若A 半正定，则（2）若A 正定，则

那么设

所以不同基下的度量矩阵

及到

是欧氏空间V 的两组基. 这两组基的度量矩阵分的过渡矩阵是C.

的度量矩阵是合同的.

【答案】（1）因为A 半正定，故存在正交阵T ，使

由柯西公式得