2017年湘潭大学数学与计算科学学院832高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
【答案】B 【解析】
故
但当a=l时，
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设
则A 与B （ ）.
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
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.
）
D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
使
因此A 与B 合同.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
5． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
则线性方程组（ ）•
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
线性无关.
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因为
所以向量组
线性无关.
二、分析计算题
6． 设m ，n 为自然数，证明：
【答案】（I ）记所以
即
同理有
（II ）设由于
所以
而
结合式（1）、式（2）可得由（I ）、（II ）可知.
7． 已知
问【答案】
怎样的有理数，都不能使所以
从而设
为直和
所以问题转化为求如上方程组系数行列式不为零的条件，余下过程略去，请自己解答。
8． 求结式:
（1）
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使
则存在
的一个公因式，即
使
与
是直和当且仅当取何值？
是直和
为常数。即
无关。
与
而无论A 为
都是线性无关的向量组。