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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

【答案】（C ） 【解析】设

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

3． 二次型

A. 正定 B. 不定

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是（ ）二次型.

C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B. 4． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

二、分析计算题

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6． 设分块矩阵

【答案】由

是方阵

，知，

证明

由注意到两边取迹得

因此 7． 设

为数域K 内的n 个互异数，证明：①以下的n 个多项式是n 维空间

②当K 为复数域且取阵.

【答案】①显然只证令得

同理得②由于

线性无关，为一基.

为全体n 次单位根，故

由此得由基

8． 在欧氏空间V 中

（1）若向量

等长，证明：

正交，作出几何解释；

S 是V 的子空间，是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，（2）设V 是n 维的，证明：是V 的子空间，且

【答案】（1）因为

，所以

几何解释：表示菱形两对角线互相垂直. （2）由已知有且

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可得

的一基：

的过渡矩

为全体n 次单位根时，求由基线性无关即可，设有K 中数

互异，故

而

使

到基

代入上式，由于

从而由（4）

到基的过渡矩阵为C （C 的第i 列元素为

仿上题可证是V 的予空间，且故①成立，