2017年湘潭大学数学与计算科学学院832高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
【答案】（A ）
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 证明：如果
【答案】由可得
不全为零，且
那么
因此根据定理3知
7． 在
中求一单位向量与（1, 1，-1，1），（1，-1，-1，1）, （2，1，1，3）都正交.
，与（1, 1，-1, 1）, （1，-1, -1，1）（2，1，1，3）都正交的充
满足下列线性方程组
解得
单位化后，得所求向量为
在基
下的矩阵是一若尔当块.
【答案】向量分必要条件是
8． 设V 是复数域上的n 维线性空间，而线性变换证明：
（1）V 中包含
的（2）V 中任一非零【答案】（1）设
子空间只有V 自身； 子空间都包含
（3）V 不能分解成两个非平凡的子空间的直和.
即有
设W 是
不变子空间，含有
则含有
则W 含有V 的一组基（2）
只有一个特征值
即有W=V.
设特征向量
满足的方程组是