2017年新疆大学数学与系统科学学院818高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 【答案】B 【解析】 3． 齐次线性方程组 的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵 【答案】C 【解析】若当C. 4． 设A 为4×3矩阵，常数，则 是非齐次线性方程组 的3个线性无关的解， 为任意 时， 由AB=0, 用 右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 使AB=0, 则（ ） . 的通解为（ ） 【答案】C 【解析】由 于又显然有基础解系. 考虑到 是 的一个特解，所以选C. 5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， （否则与 是非齐次线性方程 组，所以有解矛盾） 的三个线性无关的解，所 以从而 是 的一个 是对应齐次线性方程组 的两个线性无关的解. 记 A. B. C. D. 【答案】B 则（ ）. 【解析】由已知，有 于是 二、分析计算题 6． 设A 为n 阶方阵. 证明： 【答案】证法I 齐次线性方程组任一解， 即 则必 因若 的解显然是 设 再用 乘上式，又得 如此下去，即得 线性无关，矛盾. 因此必 同解. 于是由上题知（3）成立. 其中 为n 阶单位方阵。因此存在 同解. 的解是的解，即 的解. 反之，设 . 因此， 都同解. 再由上题即得（3）. 是k 个实对称方阵， 都是幂等方阵 秩（2） （2）由于 （1）设秩 是实对称阵，∴存在正交阵T , 使 的解反之，设的 这说明n+1个n 元（列）向量与 同解. 同理可证 证法II 因为A 是n 阶方阵，故 使 于是由上题知，又显然而由上知也是去， 即知 7． 设 （1）（2 ）秩秩【答案】（1） 则便是的解，从 同解. 如此下 而且证明:下述二条件等价： 再令
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