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一、证明题

1． 设f （x , y ）及其一阶偏导数在（0, 1）附近存在、连续, 且证明:

在点

附近可确定一单值函数

, 并求

.

附近满足隐函数存在定理的条件. 和在,

附近由方程

且

2． 设f （X ）在

I

=0可以确定唯一的

, 满足

附近连续.

知, 初始条件满足.

及f 的一阶偏导数在（0, 1）附近.

, 又f （0, 1） =0,

【答案】令

下面验证F （x , t）在由的连续件可知,

由而连续可微函数

于是, 由隐函数存在定理,

在

上可微, 且对x>l满足

证明:【答案】记

. , 则

因此若在一个点列

存在广义极限, 记为L.

, 对g （x ）在

. ,

则

, 使得

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上应用拉格朗日中值定理, 存在

.

这表明在

使得

上存

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另一方面, 由令

3． 证明

:

【答案】

因为续. 取

设是任一正数, 则

可得

这显然与刚才的结论矛盾, 所以

,

在

[a, b]

上一致连续, 但在

在闭区间

上不一致连续.

上一致连

上连续, 由一致连续性定理知, f （

x ）在

由

, 得, 但

. 于是, 无论

故

多么小, 总存在两点在

与

上不一致连续.

以及两条直线

x=a与

x=b

, 使得当

所围的满足

4．

证明:对于由上、

下两条连续曲线平面图形A ,

存在包含A 的多边形极限存在且相等.

【答案】设等分分割

以及被

A 包含的多边形时,

它们的面积的

取

于是, 分别取

与相连构成多边形

在

上的每一段,

相连构成多边形包含A , A 包含

又因为

而

与

在

上连续, 因而可积, 且

因此

5． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;

（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数.

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;

分别取与

在上的每一段,

因此

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【答案】（1）设令

与是D 上的两个奇函数,

则

所以（2）设则

与

是D 上的奇函数, 是D 上的两个偶函数,

是D 上的偶函数.

k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）

所以（3）设所以

6． 按

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）

对任意

由

则当

时.

（2）因为

所以

对任意

由

得

取

则当

时,

（3）当n 为偶数时,

当n 为奇数时,

故

定义证明:

和

为D 上的奇函数, 为奇函数.

都为偶函数.

为D 上的偶函数,

则

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