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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导.

, 则F （0）=0, 且

【答案】令

求证:

, 使得

»

由此推出

下面分两种情况讨论: 第一种情况, 使得第二种情况

, 使得

使得

,

即得,

即得

.

则

.. 根据罗尔定理, 有

*

, 从而本题得证.

与F （1）异号,

于是根据连续函数的中间值定理可知上用罗尔定理, 有

. 从而本题也得证.

为D 内任一点, 证

现在对F （x ）在

2． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为L x 和L y , D 的面积为明

（1）（2）因此（1）

（2）考虑

令

则所以

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,

【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a, b]和[c, d].

并且

, 记

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由于

,

因此

.

所以

, 同理可证

3． 设

为

内的递增函数. 证明:在由

内单调递增,

取知

’

使得

, 故

类似可证

,

4． 分别用确界原理及区间套定理证明:若f （x ）在[0, 1]上单调递增

, 且f （0）

>0, f （1）<1,

则记间套

,

若在分点处有g （x ）=0, 则结论成立, 否则g （x ）在每个区间由区间套定理,

存在唯一的

, 往证

的端点处函数值异号,

, 使得, 则

.

, 则S 是非空有界数集.

, 则g （0）<0, g （1）>0.利用二等分法构造区

, 往证

（反证法）.

【答案】（1）利用确界原理证明:构造数集, （2）利用区间套定理证明:设

取

, 则当

, 即

在与

都存在,

且

【答案】 对

对

.

内有上界,

, 得到

从而有上确界, 记

, 由上确界定义知

时有

二、解答题

5． 求由曲线

与坐标轴所围图形的面积.

【答案】如图所示, 曲线与x 轴、y 轴的交点为（a , 0）和（0, b ）所围图形的面积为

图

第

3 页，共

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6． 设实值函数

则

及其一阶导数在区间上连续, 而且

不等式, 即

【答案】先来证明一个不等式, 一般称为

设则

两边从a 到b 取积分, 有

由于等式右边对

都成立,

知

则

下面再来证明题目: （

1）设

则由

公式有

即

两边开方即得证. （2 ）同样由

公式有

即

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不等式成立.