2018年延安大学814数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f , g为D 上的有界函数. 证明:
（1）（2）
【答案】（1）对任意的
有
于是
故
（2）对任意的
有
于是
故
2． 设
【答案】记
. 已知
证明级数
又
所以
为单调递减数列, 故由莱布尼茨判别法可知原级数收敛.
是收敛的.
3． 设在[0, 1]上连续, 求证:
【答案】分两种情况讨论.
（1）如果f （X ）在[0, 1]上不变号, 则
即要证的不等式成立.
如果f （x ）在[0, 1]上变号, 则存在又因为f （x ）在[0, 1]上连续, 存在
, 使得
使得
f
故有
即要证的不等式成立.
（用微积分基本定理）
二、解答题
4． 求由曲线
与坐标轴所围图形的面积.
【答案】如图所示, 曲线与x 轴、y 轴的交点为（a , 0）和（0, b ）所围图形的面积为
图
5． 对幂级数
（1）求收敛域； （2）求和函数；
（3）讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性. 【答案】（1）由于
所以收敛半径为1，又
发散，
故（2）令
的收敛域为（﹣1，1）.
，则
其中
由于
所以
故（3）取
，则
.
不趋于0, 于是
在（-1, 1）上不一致趋于0, 故该幂级数在收敛域上不一致收敛.
6． 设质点受力作用, 力的反方向指向原点, 大小与质点离原点的距离成正比, 若质点由（a , 0）沿椭圆移动到（0, 6）, 求力所作的功.
【答案】椭圆的参数方程为:
由于力的反方向指向原点, 则:（设k 为比例系数）
则
7． 求下列幂级数的收敛半径及其和函数.
（1）（2）（3）（提示:
【答案】（1
）设
则
故
）
故收敛半径为1,
又
时级数收敛, 且x=1
时
故收敛域为[﹣1, 1].
设