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一、证明题

1． 证明：(1) 若函数f 在

(2) 若函数f (x ) 在(3) 对任意实数【答案】(1)

因为点I 使得

(2) 因为f (x ) 在

都有在又因为

于是

上可导，且上可导，

且

则

上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在(a ，b ) 内至少存在一

因此

上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在(a , b ) 内至少存在一点使得

又因为

(3)

当

时，结论成立. 当

于是

时，

设

令

由(2) 的结论知，

2． 设

在

上二阶连续可微，对于任何

证明:无穷积分【答案】因为有

所以存在

由于

因此

有

由泰勒定理，存在可得.

有

所以

由于

收敛，根据比较原则

，

收敛. 所以

收敛.

收敛.

所以对任意充分大的正数

存在

当

时，

且

则

因此

则

二、解答题

3． 计算下列二重积分：

(1) (2)

其中D 由抛物线

其中

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与直线所围成的区域；

(3) (4) :

其中

，其中D 为图1中阴影部分；

【答案】(1) D 如图

1

图1

(2) (3) D 如图

2

图 2

(4) D 如图

3

图 3

4． 求取外侧.

【答案】球面在点(X ，y ，z ) 处的法向量为

由两类曲面积分的关系，有

其中S 是球面

的第一卦限部分，

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其中

作极坐标变换，有

5． 设

【答案】

6． 求下列函数的周期：

（1）

（2）

（3）

的周期的周期是的周期

.

4和6的最小公倍数是12,

故 做

的周期是

【答案】（1）

（2）由tanx 的周期是可知，（3

）

的周期

的周期是

7． 试问集合

与集合

是否相同？

【答案】给出的两个集合是不相同的，第一个集合挖去了两条线

段

第二个集合挖去了一个点(a , b) .

为单位球面

计算曲面积分

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