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一、计算题

1． 求螺旋线

【答案】

则

2． 计算

【答案】令

3． 设

求

则有

所以

Abel 不等式

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对z 轴的转动惯量, 设曲线密度为L

【答案】设

4． 设某流体的流速为V= （k , y , 0）, 求单位时间内从球面

【答案】设流量为E , 则

（其中

5． 求下列极限:

利用球坐标变换计算）

的内部流过球面的流量.

）1（

【答案】（1）

（2）

.

（2）

6． 计算下列积分:

【答案】（1）令x=1—t , 则dx=—dt , 代入原积分, 有

所以

（用了欧拉积分

故

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）

（2）

对上式右端第一个积分作变换:x=1+t, 则

于是有

7． 设函数f 在点x 0存在左右导数, 试证f 在点x 0连续.

【答案】因为f 在点x 0的左右导数当于是,

时,

, 即

; 当

时,

, 故f （x ）在点x 0连续.

都存在, 所以由有限增量公式:

8． 求下列数集的上、下确界, 并依定义加以验证:

（1）（2）

（3）（4）

【答案】（1）确界.

显然有是集合S 的一个上界. 对任意的

, 则

即（2）

则

（3）设

不妨设S 的上确界.

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S 的上、下确界分别为

不妨设

取

. 这里只证明是上

且. 因此, 是S 的上确界.

的上、下确界分别为

故S 无上界, 即S 的上确界为

和1. 1是S 的一个下界, 并且

取

.

任何大于1的数都不是S 的下界, 所以1是S 的最大下界, 即1是S 的下确界. 对任意的

内的无理数）的上、下确界分别为1和0. 这里只证明1是S 的上确界.

由无理数的稠密性可知, 存在无理数

于是

并且

因此, 1是