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一、分析计算题

1 V 及．

，同上题试找出一个线性函数f , 使

. 就得到

2． 设

【答案】①不作成欧氏空间. 因为②作成欧氏空间：因为又

时，

③作成欧氏空间：因为 同理有又当

时

则时有

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【答案】可算出

为实空间的任二向量. 问：对以下各内积是否作成欧氏空间？

则

同理，

④不作成欧氏空间：因为例如，取⑤不作成欧氏空间：因为当臼

3． 设A 为n 阶方阵，证明

：

【答案】当

时，有

而

所以

当时，有当

时，

从而

显有

当r （A ）=n—1时，有

结合n>2时知

故仍有

4． 矩阵

使D=GF.这里G

是以

是矩阵方程AX=B的导出方程AX=0的解<=>存在矩阵的基础解系为列作成的矩阵.

【答案】

一列可由齐次线性方程组

令则有

则D 的列向量是线性方程组的基础解系线性表示.

基础解系为

的解，因而D 的任

取

的解.

即可

.

如D=GF, 则D 的列是G 列的线性组合，又G 的列为

的解. 所以D

的任一列为

所以AD=0. 证完.

5． 设间.

【答案】

时显然. 当

时，如果有实特征值，则有实特征向量取

是

的一个特征值，而

则W 是

的一维不蛮子空间.

如果的特征值都是虚数，设

这里

此时，如如

则

贝U 线性无关.

由于

所以

所以

从而b=0，矛盾. 取

又由（1）得

所以W 是

的不变子空间

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是n 维实线性空间V 的线性变换，证明，至少有一个维数为1或2的不变子空

是属于的特征向量.

为的1维不变子空间

事实上，若不然，不妨设

则

6． 判断下列两个多项式有无重因式？再求其在有理数域Q 上的标准分解式：

【答案】即

用辗转相除法可得

故f （x ）有重因式. 又因为

故

与

是

的仅有的不可约因式. 再利用（综合）除法易知，X-4是f （x ）的单因式，

②利用辗转相除法，在有理数域Q 上可得

故g （x ）有重因式. 又易知

故g （x ）在Q 上的不可约多项式仅有都是

的2重因式，故g （x ）在Q 上的标准分解式为

7． 设A ，B 都是

的对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当A ，B 可交换.

即AB 为对称阵. 反之，当即A , B可交换.

8． 设向量组

线性表示。

【答案】用反证法，若α1可以由则

[否则若

，则由①知

线性表示，即

线性相关，矛盾]由①可解得

再由类似可证

线性相关，存在不全为零的秩l 2, l 2, l 4, 使[否则

线性相关，这与

线性无关矛盾]由③解得

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而x+1是.f （x ）的4重因式. 故f （x ）在Q 上的标准分解式为

与利用多项式除法又进一步可知，与

【答案】当A , B可交换时，

时，

线性无关，向量组线性相关，试证：α1

不能由