2017年湖南大学机械与运载工程学院813高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设V 是复数域上的n 维线性空间，
（1）如果（2）
是
的一特征值，那么
则：是的不变子空间.
是
上的线性变换. 因
是复数域上线性空间，在它也是
故a 是
2． 设
①②
的公共特征向量.
是欧氏空间V 的两个对称变换，证明： 也是V 的对称变换； 是对称变换当且仅当
是对称变换，故
因此，②设又因为由于反之，若即
是对称变换. 是对称变换，则对都是对称变换，故又有
的任意性，故由（5）, （6）得
则
真是V 的对称变换.
3． 设V 是数域P 上n 维线性空间. 证明：由V 的全体线性变换组成的线性空间是维的.
【答案】
任一
元
故
又
若
是线性无关的. 因此它们是
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是V 的线性变换，且是于是
的不变子空间；
. 证明
至少有一个公共的特征向量
【答案】（1）设即有
（2）量. 这时
故
是的不变子空间，令
复数域上必有特征值，
设为上有的属于的特征向量a. 的属于的特征向
【答案】是线性变换显然. 又因为
有
这组元素是
即
有
的生成元，
于
是
是维
的一组基，从而
的.
设V 是P 上n 维线性空间，L （V ）是V 上全体线性变换所成的空间. 给定V
上一组基
任一线性变换与它在该基下的矩阵相对应，这就建立了L （V ）到
射，它是双射，又保持各自的加法和数量乘法，因而是线性空间L （V ）到线性空间由于是同构，它们的维数相同，即L （V ）也是维的.
4． 设且
上的一个映上的同构.
和b 满足何种关系时AX=0只有零解、有非零解？并求其一基础解系.
因此
时
AX=0只有零解.
同解. 此时（n>l）有无穷多解. 由于
不妨
问：【答案】易知当b ≠0且
当b=0时，AX=0与设
于是有基础解系为
当
即
，得
）
时，对A 施行初等行变换（第一行乘-1加至其余各
行，再第2, …，n 行都乘
由此得同解方程组
：且r （A ）=n-l，而为AX=0的
一基础解系.
5． 设V 是定义域为实数集R 的所有实值函数组成的集合，对于f ，定义f+g与af :
则V 成为实数域上的一个线性空间.
设（1）判断（2）用由.
【答案】（1）令得
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分别用下列式子
是否线性相关，写出理由； 表示f , g 生成的线性子空间，判断
分别取
是否为直和，写出理
解之得（2）因为从而
说明
所以
线性无关.
又
的直和.
6． 设V 为n 维线性空间，W , 使
故
是
是V 的非零真子空间，且维数相等，则存在V 的子空间
且满足条件的W 有无穷多个. 【答案】设若若令
由有限不覆盖定理，
是V 的真子空间，则
则重复上面的步骤，由n 是有限数，经
则
下面证满足条件的W 有无穷多个. 由W 也是V 的真子空间，
若
如此进行下去，得到真子空间对于真子空间满足式
（6—3）.
7． 设A 是一个n 级矩阵，证明：
（1）A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量X , 有（2）如果A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量X 有【答案】（1）设
那么
，满足式（6-3）
同上作法，并如此进行下去，可以得到无穷多
步必终止，所得的向量为
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